Question

8．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，3$\sqrt{3}$），B（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2cosθ．
（1）写出点A、B极坐标和圆C的直角坐标标准方程；
（2）设射线OB与圆C相交于点P（非原点），求△ABP面积．

Answer 1

分析 （1）由题意能求出点A、B极坐标，由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，能求出圆C的直角坐标标准方程．
（2）射线OB的方程为y=$\sqrt{3}x$，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得P（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），由此能求出△ABP面积．

解答 解：（1）∵A（0，3$\sqrt{3}$），
∴$ρ=\sqrt{{0}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=3$\sqrt{3}$，$θ=\frac{π}{2}$，
∴A（3$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$）．
∵B（$\frac{3}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴$ρ=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{27}{4}}$=3，tanθ=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$=$\sqrt{3}$，$θ=\frac{π}{3}$，
∴B（3，$\frac{π}{3}$）．
∵圆C的方程为ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
∴x²+y²=2x，
∴圆C的直角坐标标准方程为（x-1）²+y²=1．
（2）射线OB的方程为：$\frac{y}{x}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$=$\sqrt{3}$，即y=$\sqrt{3}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，∴P（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
|AP|=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{75}{4}}$=$\sqrt{19}$，|AB|=$\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{27}{4}}$=3，|BP|=$\sqrt{1+3}=2$，
cos$∠ABP=\frac{9+4-19}{2×3×2}$=-$\frac{1}{2}$，sin∠ABP=$\sqrt{1-（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△ABP面积S_△ABP=$\frac{1}{2}×|AB|×|BP|×sin∠ABP$
=$\frac{1}{2}×3×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查点的极坐标、圆的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式、两点间距离公式的合理运用．