Question

如图，现在要在一块半径为1m．圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP=θ．平行四边形MNPQ的面积为S．
（1）求S关于θ的函数关系式；
（2）求S的最大值及相应θ的值．

Answer 1

分析：（1）根据题设条件合理建立方程，从而导出S关于θ的函数关系式．
（2）利用三角函数求出S的最大值及相应θ的值．

解答：解：①分别过点P、Q作PD⊥OB，QE⊥OB，垂足分别为D、E，则四边形QEDP是矩形．
PD=sinθ，OD=cosθ．
在Rt△OEQ中，∠AOB=

π

3

，
则OE=

3

3

QE=

3

3

PD．
所以MN=PQ=DE=OD-OE=cosθ-

3

3

sinθ．
则S=MN×PD=（cosθ-

3

3

sinθ）×sinθ=sinθcosθ-

3

3

sin²θ，θ∈（0，

π

3

）．
（2）S=

1

2

sin2θ-

3

6

（1-cos2θ）=

1

2

sin2θ+

3

6

cos2θ-

3

6

=

3

3

sin（2θ+

π

6

）-

3

6

．
因为0＜θ＜

π

3

，所以

π

6

＜2θ+

π

6

＜

5π

6

，
所以

1

2

＜sin（2θ+

π

6

）≤1．所以当2θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

6

时，S的值最大为

3

6

m²．
即S的最大值是

3

6

m²，相应θ的值是

π

6

．

点评：挖掘题设条件，合理运用三角函数是正确解题的关键．