Question

已知数列{a_n}（n∈N⁺）满足：a_n=log_n+1（n+2），定义：使a₁•a₂•a₃…a_n．为整数的数k（k∈N⁺）叫做“希望数”，则区间[1，2013]内所有希望数的和等于（　　）

• A、2026
• B、2036
• C、2046
• D、2048

Answer 1

考点：数列的求和,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：利用a_n=log_n+1（n+2），化简a₁•a₂•a₃…a_k，得k=2^m-2，给m依次取值，可得区间[1，2013]内所有希望数，然后求和．

解答： 解：a_n=log_n+1（n+2），
∴由a₁•a₂•a₃…a_k为整数得，log₂3•log₃4…log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2）为整数，
设log₂（k+2）=m，则k+2=2^m，∴k=2^m-2； 因为2¹¹=2048＞2013，
∴区间[1，2013]内所有希望数为2²-2，2³-2，2⁴-2，2¹⁰-2，
其和M=2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=2026．
故选：A．

点评：本题考查对数函数的运算性质，数列求和，求出区间[1，2013]内所有希望数为2²-2，2³-2，2⁴-2，2¹⁰-2，是解题的关键．