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    设二次方程，有两根和，且满足，

    （1）试用表示；

    （2）证明是等比数列；

    （3）设，，为的前n项和，证明，（）。

     

    【答案】

    （1），；（2）见解析；（3）

    【解析】本题是对数列的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查．本题虽然问比较多，但每一问都比较基础，属于中档题．

    （1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得

    （2）对（1）的结论两边同时减去 ，整理即可证：数列{an- }是等比数列；

    （3）先利用（2）求出数列{an- }的通项公式，即可求数列{an}的通项公式和，然后利用错位相减法得到结论。

    （1）即，可推出，

    （2），且

    ∴是以为首项，公比为的等比数列；

    （3），  

     

    两式相减得   

    整理得   

     

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    设二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N+有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a1=1
    （1）试用an表示an+1；            
    （2）证明{an-
    2
    3
    }    是等比数列；
    （3）设cn=n•(an-
    2
    3
    )    ，n∈N+，Tn为{cn}的前n项和，证明：Tn＜
    4
    3
    （n∈N+）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2α•β+6β=3，
    （Ⅰ）求证：数列{an-
    2
    3
    }    是等比数列；
    （Ⅱ）当a1=
    7
    6
    时，求数列{nan}的前n项和．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N+有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a1=1．
    （1）证明：{an-
    2
    3
    }    是等比数列，并求{an}的通项公式；
    （2）设cn=n•(an-
    2
    3
    )    ，n∈N+，Tn为{cn}的前n项和，证明：Tn＜2，（n∈N+）．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年浙江省高三第一次月考文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    设二次方程，有两根和，且满足， 

    （1）试用表示；            （2）证明是等比数列；

    （3）设，，为的前n项和，证明，（）。

     

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