Question

若圆C：x²+y²-ax+2y+1=0和圆x²+y²=1关于直线l₁：x-y-1=0对称，动圆P与圆C相外切，且与直线l₂：x=-1相切，则动圆P的圆心的轨迹方程是（　　）

• A、x²+y²+x=0
• B、y²-2x+2y+3=0
• C、y²-6x+2y-2=0
• D、x²+y²+2x+2y=0

Answer 1

分析：由圆的一般式方程求出圆的圆心坐标，由两圆的圆心关于直线l₁：x-y-1=0对称列式求出a的值，再由动圆与已知圆外切及与直线x=-1相切，转化为圆心距和半径的关系列式得答案．

解答：解：由圆C：x²+y²-ax+2y+1=0，得(x-

a

2

)2+(y+1)2=

a2

4

．
∴圆C的圆心为(

a

2

，-1)，半径为|

a

2

|．
∵圆C：x²+y²-ax+2y+1=0和圆x²+y²=1关于直线l₁：x-y-1=0对称，
则(

a

2

，-1)与（0，0）关于直线l₁：x-y-1=0对称，
即

-1 a 2 =-1 a 4 + 1 2 -1=0

，解得：a=2．
∴圆C的方程为：（x-1）²+（y+1）²=1．
再设动圆P的圆心坐标为（x，y），
∵动圆P与圆C相外切，且与直线l₂：x=-1相切，
∴

(x-1)2+(y+1)2

-1=x+1，整理得：y²-6x+2y-2=0．
故选：C．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，训练了点关于直线的对称点的求法，两圆关于直线对称，实则是两圆的圆心关于直线对称，是中档题．