Question

20．如图，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平而ABC，F是BE中点，AE=AB=2，CD=1．
    （1）求证：DF∥平面ABC； 
    （2）求证：AF⊥DE； 
    （3）求异面直线AF与BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC中点O，过O作平面ABC的垂线交DE，连结OB，以O为原点，OB、OC、OG所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DF∥平面ABC．
（2）分别求出$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{DE}$，利用向量法能证明AF⊥DE．
（3）分别求出$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{BC}$，利用向量法能求出异面直线AF与BC所成角的余弦值．

解答 （1）证明：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线交DE
连结OB，则OG⊥OB，OG⊥OC，
∵△ABC是正三角形，O是AC中点，∴OB⊥OC，
以O为原点，OB、OC、OG所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
∵F是BE中点，AE=AB=2，CD=1，
∴A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}，0，0$），C（0，1，0），
D（0，1，1），E（0，-1，2），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，1$），
∴$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，1$），$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，1），
$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{CD}$=（0，0，1），
∵CD⊥平面ABC，∴$\overrightarrow{CD}$=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量，
∵$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×0+（-\frac{3}{2}）×0+0×1=0$，∴$\overrightarrow{DF}⊥\overrightarrow{CD}$，
又DF?平面ABC，∴DF∥平面ABC．
（2）证明：∵$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，1$），$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，1），
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{DE}$=0-1+1=0，
∴AF⊥DE．
（3）解：∵$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，1$），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
设AF、BC所成角为θ，
cosθ=|$\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{BC}|}$|=|$\frac{-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}{\sqrt{2}•2}$|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴异面直线AF与BC所成角的余弦值$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．