【题目】如图,直三棱柱中,,,点在线段上.
(1)若是中点,证明:平面;
(2)当时,求直线与平面所成角的正弦值。
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
试题分析:(1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行的寻找与论证,往往需要结合平几知识,如本题利用三角形中位线性质得线线平行(2)求线面角,一般利用空间向量进行计算,先根据题意建立恰当的空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求出面的法向量,再根据向量数量积求出向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余的关系求解.
试题解析:(Ⅰ)证明:连结BC1,交B1C于E,连结ME.
因为 直三棱柱ABC-A1B1C1,M是AB中点,所以侧面BB1C1C为矩形,
ME为△ABC1的中位线,所以ME//AC1.
因为ME平面B1CM,AC1平面B1CM,所以AC1∥平面B1C
(II),故如图建立空间直角坐标系
,,
令平面的法向量为
由,得设
所以,
设直线与平面所成角为
故当时,直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】已知抛物线,过其焦点作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线,它们分别交抛物线于点、和点、,线段、的中点分别为、.
(Ⅰ)求线段的中点的轨迹方程;
(Ⅱ)求面积的最小值;
(Ⅲ)过、的直线是否过定点?若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.
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【题目】某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
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【题目】为了参加市高中篮球比赛,某中学决定从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出人组成男子篮球队,代表该地区参赛,四个篮球较强的班级篮球队员人数如下表:
班级 | 高三(7)班 | 高三(17)班 | 高二(31)班 | 高二(32)班 |
人数 | 12 | 6 | 9 | 9 |
(1)现采取分层抽样的方法从这四个班中抽取运动员,求应分别从这四个班抽出的队员人数;
(2)该中学篮球队奋力拼搏,获得冠军.若要从高三年级抽出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言,求选出的两名队员来自同一班的概率.
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【题目】已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程.
(2)点P在直线l:2x-4y+3=0上,过点P作圆C的切线,切点记为M,求使|PM|最小的点P的坐标.
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