Question

18．若函数f（x）=e^x-mx²定义域为（0，+∞），值域为[0，+∞），则m的值为$\frac{{e}^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意，函数f（x）在定义域内有唯一的零点，即y1=e^x与y2=mx²在x∈（0，+∞）内有公共切线，
根据切点（x₀，y₀）求出m的值．

解答 解：∵函数f（x）=e^x-mx²定义域为（0，+∞），值域为[0，+∞），
∴函数f（x）=e^x-mx²在x∈（0，+∞）时有唯一的零点；
设y1=e^x，y2=mx²，且x∈（0，+∞），
则两函数在定义域（0，+∞）内有公共切线，
设切点为（x₀，y₀），
则y1′=e^x，y2′=2mx，
切线的斜率为k=${e}^{{x}_{0}}$=2mx₀①，
且y₀=${e}^{{x}_{0}}$=m${{x}_{0}}^{2}$②；
由①②组成方程组，解得
x₀=2，m=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{{e}^{2}}{4}$．

点评 本题考查了函数的定义域、值域以及零点的应用问题，也考查了导数的应用问题，是综合性题目．