Question

3£®Èô·ÇÁãÏòÁ¿$\vec a$ÓëÏòÁ¿$\vec b$µÄ¼Ð½ÇΪ¶Û½Ç£¬$|{\vec b}|=2$£¬ÇÒµ±$t=-\frac{1}{2}$ʱ£¬$|{\vec b-t\vec a}|$£¨t¡ÊR£©È¡×îСֵ$\sqrt{3}$£®ÏòÁ¿$\vec c$Âú×ã$£¨{\vec c-\vec b}£©¡Í£¨{\vec c-\vec a}£©$£¬Ôòµ±$\vec c•£¨{\vec a+\vec b}£©$È¡×î´óֵʱ£¬$|{\vec c-\vec b}|$µÈÓÚ£¨¡¡¡¡£©

• A£® $\sqrt{6}$
• B£® $2\sqrt{3}$
• C£® $2\sqrt{2}$
• D£® $\frac{5}{2}$

Answer 1

·ÖÎö ×÷³öʾÒâͼ£¬Ñ°ÕÒ$|{\vec b-t\vec a}|$ÔÚºÎʱȡµÃ×îСֵ£¬¼ÆËã³öÏòÁ¿$\vec a$ÓëÏòÁ¿$\vec b$µÄ¼Ð½Ç¼°|$\overrightarrow{a}$|£¬ÓÉ$£¨{\vec c-\vec b}£©¡Í£¨{\vec c-\vec a}£©$¿ÉÖª$\vec c$µÄÖÕµãÔÚÒ»¸öÔ²ÖÜÉÏ£¬½áºÏͼÏó£¬ÕÒ³öµ±$\vec c•£¨{\vec a+\vec b}£©$È¡×î´óֵʱCµÄλÖ㬽øÐм¸ºÎ¼ÆËã¼´¿ÉÇó³ö£®

½â´ð ½â£ºÉè$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{MA}$£¬$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{MB}$£¬$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{MC}$£¬Èçͼ£º
¡ßÏòÁ¿$\vec a$£¬$\vec b$µÄ¼Ð½ÇΪ¶Û½Ç£¬
¡àµ±$\vec a$Óë$\vec b-t\vec a$´¹Ö±Ê±£¬$|{\vec b-t\vec a}|$È¡×îСֵ$\sqrt{3}$£¬¼´$\vec a¡Í£¨{\vec b+\frac{1}{2}\vec a}£©$£®
¹ýµãB×÷BD¡ÍAM½»AMÑÓ³¤ÏßÓÚD£¬ÔòBD=$\sqrt{3}$£¬
¡ß|$\overrightarrow{b}$|=MB=2£¬¡àMD=1£¬¡ÏAMB=120¡ã£¬¼´$\vec a$Óë$\vec b$¼Ð½ÇΪ120¡ã£®
¡ß$\vec a¡Í£¨{\vec b+\frac{1}{2}\vec a}£©$£¬¡à$\overrightarrow{a}•$£¨$\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$£©=0£¬
¡à|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos120¡ã+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²=0£¬
¡à|$\overrightarrow{a}$|=2£¬¼´MA=2£¬
¡ß$£¨{\vec c-\vec a}£©¡Í£¨{\vec c-\vec b}£©$£¬¡à$\vec c$µÄÖÕµãCÔÚÒÔABΪֱ¾¶µÄÔ²OÉÏ£¬
¡ßOÊÇABÖе㣬¡à$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{MO}$£¬
¡àµ±M£¬O£¬CÈýµã¹²Ïßʱ£¬$\vec c•£¨{\vec a+\vec b}£©$È¡×î´óÖµ£¬
¡ßAB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$£¬¡àOB=0C=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{3}$£¬
¡ßMA=MB=2£¬OÊÇABÖе㣬¡àMO¡ÍAB£¬
¡à¡ÏBOC=¡ÏMOA=90¡ã£¬
¡à|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$|=BC=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{6}$£®
¹ÊÑ¡£ºA£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÁËƽÃæÏòÁ¿ÔÚ¼¸ºÎÖеÄÓ¦Ó㬸ù¾ÝÌâÄ¿×÷³ö·ûºÏÌõ¼þµÄͼÐÎÊǹؼü£®