【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为
. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设A(0,﹣1),直线l与椭圆C交于P,Q两点,且|AP|=|AQ|,当△OPQ(O为坐标原点)的面积S最大时,求直线l的方程.
【答案】解:(Ⅰ)∵椭圆C: =1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为
, ∴
,又a2=b2+c2 ,
解得a=2 ,b=
,
∴椭圆C的方程为 .
(Ⅱ)由题意知直线l的斜率k存在,
①当k=0时,设直线l的方程为y=y0 , P(﹣x0 , y0),Q(x0 , y0),
则 ,
∴S= |2x0||y0|=|x0||y0|=2
≤
=2,
当且仅当 =2﹣
,即|y0|=1时,取等号,
此时直线l的方程为y=±1.
②当k≠0时,可设直线l的方程为y=kx+m,P(x1 , y1),Q(x2 , y2),
联立 ,消去y,整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣2)=0,
由△=(8km)2﹣4(1+4k2)4(m2﹣2)>0,
解得8k2+2>m2 , (*) ,
,
∴PQ中点为(﹣ ,
),
∵|AP|=|AQ|,∴ ,化简得1+4k2=3m,
结合(*)得0<m<6,
又O到直线l的距离d= ,
|PQ|= |x1﹣x2|=
,
∴S= |PQ|d=
=
=
,
∴当m=3时,S取最大值2,此时k= ,直线l的方程为y=
.
综上所述,直线l的方程为y=±1或y=
【解析】(Ⅰ)由椭圆过点M(2,1),且离心率为 ,列出方程组求出a,b,由此能求出椭圆C的方程;(Ⅱ)由题意知直线l的斜率k存在,当k=0时,直线l的方程为y=±1.当k≠0时,可设直线l的方程为y=kx+m,联立
,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣2)=0,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式,结合已知条件能求出直线l的方程.
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本,需要知道椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
.
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【题目】(2015·陕西)设f(x)=lnx, 0<a<b,若p=f(),q=f(
),r=
(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( )
A.q=r<p
B.q=r>p
C.p=r<q
D.p=r>q
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【题目】已知函数发f(x)=(x+1)lnx﹣ax+2.
(1)当a=1时,求在x=1处的切线方程;
(2)若函数f(x)在定义域上具有单调性,求实数a的取值范围;
(3)求证: ,n∈N* .
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【题目】△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 b=4c,B=2C (Ⅰ)求cosB;
(Ⅱ)若c=5,点D为边BC上一点,且BD=6,求△ADC的面积.
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【题目】如图茎叶图记录了甲,乙两班各六名同学一周的课外阅读时间(单位:小时),已知甲班数据的平均数为13,乙班数据的中位数为17,那么x的位置应填;y的位置应填 .
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【题目】已知椭圆E:mx2+y2=1(m>0).
(Ⅰ)若椭圆E的右焦点坐标为 ,求m的值;
(Ⅱ)由椭圆E上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形.若以B(0,1)为直角顶点的椭圆E的内接等腰直角三角形恰有三个,求m的取值范围.
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【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn , 若S9=81,a3+a5=14.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= ,若{bn}的前n项和为Tn , 证明:Tn<
.
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【题目】已知f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数,若对任意的x∈(0,+∞),都有 ,且方程|f(x)﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间(0,3]上有两解,则实数a的取值范围是( )
A.0<a≤5
B.a<5
C.0<a<5
D.a≥5
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