Question

已知数列{a_n}的通项公式为an=

n

n+a

(n，a∈N*)．
（1）若a₁，a₃，a₁₅成等比数列，求a的值；
（2）是否存在k（k≥3且k∈N），使得a₁，a₂，a_k成等差数列，若存在，求出常数a的值；若不存在，请说明理由；
（3）求证：数列中的任意一项a_n总可以表示成数列中其它两项之积．

Answer 1

分析：（1）由a₁，a₃，a₁₅成等比数列可得代入通项公式可求a的值
（2）假设存在k（k≥3且k∈N），使得a₁，a₂，a_k成等差数列，则有a₁+a_k=2a₂，代入通项公式进行计算
（3）由于an=

n

n+a

=

2n

2n+2a

=

2n

2n+a

•

2n+a

2n+2a

，故可求

解答：解：（1）因为a₁，a₃，a₁₅成等比数列，所以a₃²=a₁a₁₅，即(

3

3+a

)2=

1

1+a

•

15

15+a

由a∈N₊可得a=9（5分）
（2）若存在k（k≥3且k∈N），，使得a₁，a₂，a_k成等差数列，则有a₁+a_k=2a₂，
即

1

1+a

+

k

k+a

=

4

2+a

，得k=3+

2

a

，k（k≥3且k∈N）
∴a=1或a=2（8分）
故存在k=5或k=4，使得a₁，a₂，a_k成等差数列
且k=5时，a=1，k=4时，a=2．（11分）
（3）∴an=

n

n+a

=

n

n+a

=

2n+a

2n+2a

•

2n

2n+a

=a2n+a•a2n（13分）
a_2n+a与a_2n是数列{a_n}的不同于a_n的两项，
所以数列中的任意一项a_n总可以表示成数列中其它两项之积．（16分）

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合运算，数列通项公式的应用，考查了考生的逻辑推理与运算的能力．