Question

已知A_n（a_n，b_n）（n∈N^*）是曲线y=e^x上的点，a₁=a，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：
（1）证明：数列是常数数列；
（2）确定a的取值集合M，使得当a∈M时，数列{a_n}是单调递增数列；
（3）证明：当a∈M时，弦A_nA_n+1（n∈N^*）的斜率随n单调递增．

Answer 1

解：（I）当n≥2时，由已知得S_n²-S_n-1²=3n²a_n，
因为a_n=S_n-S_n-1≠0，所以S_n+S_n-1=3n²①，
于是S_n+1+S_n=3（n+1）²②，
由②-①得a_n+1+a_n=6n+3③，
于是a_n+2+a_n+1=6n+9④，
由④-③得a_n+2-a_n=6⑤，
A_n（a_n，b_n）（n∈N^*）是曲线y=e^x上的点，所以b_n=e^a_n
所以=e^a_n+2-a_n=e⁶，是常数，即数列{}（n≥2）是常数数列．
（II）由①有S₂+S₁=12，所以a₂=12-2a、由③有a₃+a₂=15，a₄+a₃=21，所以a₃=3+2a，a₄=18-2a．
而⑤表明：数列{a_2k}和{a_2k+1}分别是以a₂，a₃为首项，6为公差的等差数列，
所以a_2k=a₂+6（k-1），a_2k+1=a₃+6（k-1），a_2k+2=a₄+6（k-1）（k∈N*），
数列{a_n}是单调递增数列?a₁＜a₂且a_2k＜a_2k+1＜a_2k+2对任意的k∈N*成立．
?a₁＜a₂且a₂+6（k-1）＜a₃+6（k-1）＜a₄+6（k-1）
?a₁＜a₂＜a₃＜a₄?a＜12-2a＜3+2a＜18-2a
?＜a＜．
即所求a的取值集合是M={a|＜a＜}．
（III）解：弦A_nA_n+1的斜率为k_n==，
任取x₀，设函数f（x）=，则f（x）=，
记g（x）=e^x（x-x0）-（e^x-e^x₀），则g'（x）=e^x（x-x₀）+e^x-e^x=e^x（x-x₀），
当x＞x₀时，g′（x）＞0，g（x）在（x₀，+∞）上为增函数，
当x＜x₀时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，x₀）上为减函数，
所以x≠x₀时，g（x）＞g（x₀）=0，从而f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，x₀）和（x₀，+∞）上都是增函数．
由（II）知，a∈M时，数列{a_n}单调递增，
取x₀=a_n，因为a_n＜a_n+1＜a_n+2，所以k_n=＜．
取x₀=a_n+2，因为a_n＜a_n+1＜a_n+2，所以k_n+1=＞．
所以k_n＜k_n+1，即弦A_nA_n+1（n∈N^*）的斜率随n单调递增．
分析：（I）当n≥2时，通过已知得S_n²-S_n-1²=3n²a_n，由此可得 =e⁶是常数，从而说明数列是常数数列．
（II）由题设条件可知a₂=12-2a、a₃+a₂=15，a₄+a₃=21，所以a₃=3+2a，a₄=18-2a，数列{a_2k}和{a_2k+1}分别是以a₂，a₃为首项，6为公差的等差数列，所以a_2k=a₂+6（k-1），a_2k+1=a₃+6（k-1），a_2k+2=a₄+6（k-1）（k∈N*），再由数列{a_n}是单调递增数列能够推陈出a的取值集合．
（III）弦A_nA_n+1的斜率为k_n=，通过a_n＜a_n+1＜a_n+2，推出k_n＜k_n+1，说明弦A_nA_n+1（n∈N^*）的斜率随n单调递增．
点评：本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，深入挖掘题设中的隐含条件．注意函数的单调性的应用，以及导数的应用．