Question

【题目】已知函数f（x）＝xlnx，

（1）求函数f（x）过（﹣1，﹣2）的切线的方程

（2）过点P（1，t）存在两条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值范围

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣1（2）（﹣∞，0）

【解析】

（1）求导得到f′（x）＝1+lnx，设切点为（m，n），利用切线方程公式计算得到答案.

（2）导数为f′（x）＝1+lnx，设切点为（u，v）化简得到t﹣1＝lnu﹣u在（0，+∞）有两解，求函数的最值得到答案.

（1）函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，

设切点为（m，n），可得切线的斜率为1+lnm，切线方程为y﹣mlnm＝（1+lnm）（x﹣m），

代入（﹣1，﹣2），可得﹣2﹣mlnm＝（1+lnm）（﹣1﹣m），

化为m+lnm＝1，由y＝x+lnx在（0，+∞）递增，且x＝1时，y＝1，

可得m+lnm＝1的解为m＝1，

则所求切线的方程为y＝x﹣1；

（2）函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，

设切点为（u，v），则切线的斜率为f′（u）＝1+lnu，

即有切线的方程为y﹣ulnu＝（1+lnu）（x﹣u），

代入点P（1，t），即有t﹣ulnu＝（1+lnu）（1﹣u），

即为t﹣1＝lnu﹣u在（0，+∞）有两解，

由g（x）＝lnx﹣x的导数为g′（x）1，

可得x＞1，g（x）递减，0＜x＜1，g（x）递增．

可得x＝1，取得最大值g（1）＝﹣1，即有t﹣1＜﹣1，解得t＜0．

故实数t的取值范围时（﹣∞，0）．