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14.已知函数f(x)=-x3+3ax2-4(a∈R).
(1)若a≠0,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在x=b处取得极值-$\frac{7}{2}$,且g(x)=f(x)+mx在[0,2]上单调递减,求实数m的取值范围.

分析 (1)若a≠0,求导数,利用导数的正负求f(x)的单调区间;
(2)利用函数f(x)在x=b处取得极值-$\frac{7}{2}$,求出f(x)的解析式,根据g(x)=f(x)+mx在[0,2]上单调递减,利用导数求实数m的取值范围.

解答 解:(1)∵函数f(x)=-x3+3ax2-4,
∴f′(x)=-3x2+6ax=-3x(x-2a),
若a>0,函数的单调减区间是(-∞,0),(2a,+∞),单调增区间是(0,2a);
a若<0,函数的单调减区间是(-∞,2a),(0,+∞),单调增区间是(2a,0);
(2)由(1)可知,b=2a,f(b)=-$\frac{7}{2}$,可得a=$\frac{1}{2}$,
∴f(x)=-x3+$\frac{3}{2}$x2-4,
∴g(x)=-x3+$\frac{3}{2}$x2-4+mx,
依题意,g′(x)=-3x2+3x+m≤0在区间[0,2]上恒成立,
x=0式满足;
x≠0时,-3x2+3x+m≤0,即△=32-4×(-3)×m=9+12m<0
解得m<-$\frac{3}{4}$
∴m≤-$\frac{3}{4}$.

点评 本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性与极值,考查恒成立问题,正确求出导函数是关键.

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(下面摘取了第7行到第9行)
8442 1753 3157 2455 0688  7704 7447 6721 7633 5026  8392 
6301 5316 5916 9275 3862  9821 5071 7512 8673 5807  4439 
1326    3321 1342 7864 1607      8252 0744 3815 0324    4299    7931.
A.16B.38C.21D.50

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