Question

锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA=，
（Ⅰ）求cosA的值并由此求的值；
（Ⅱ）若a=6，S_△ABC=，求证：△ABC为等腰三角形．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，sinA=，所以cosA=，（2分）
则
=；（6分）
（Ⅱ）∵S_△ABC=bcsinA=bc•=，则bc=27．（8分）
又a=6，cosA=，由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA得：b²+c²=54，
所以（b-c）²=b²+c²-2bc=54-2×27=0，即b=c，
所以△ABC为等腰三角形．（12分）
分析：（Ⅰ）根据角A为锐角，由sinA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用同角三角函数间的基本关系化简后提取sin²，利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosA的式子，将求出的cosA的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由三角形的面积公式表示出S_△ABC，让其值等于已知值，把sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理表示出a²，将a与cosA的值代入求出b与c的平方和，利用差的完全平方公式化简（b-c）²，将求出的b与c的平方和与bc的值代入即可求出值为0，进而得到b与c相等，故△ABC为等腰三角形．
点评：此题综合考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的余弦函数公式，余弦定理及三角形的面积公式．本题确定三角形形状的技巧性比较强，方法是：先利用三角形的面积公式求出bc的值，然后利用余弦定理求出b与c的平方和，借助差的完全平方公式得到b=c，从而得到三角形为等腰三角形．