Question

已知函数f（x）=ax²-2x+1，g（x）=ln（x+1）．
（Ⅰ）求函数y=g（x）-x 在[0，1]上的最小值；
（Ⅱ）当a≥

1

2

时，函数t（x）=f（x）+g（x）的图象记为曲线C，曲线C 在点（0，1）处的切线为l，是否存在a使l与曲线C有且仅有一个公共点？若存在，求出所有a的值；否则，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数的导数，得到函数的单调性，从而求出函数的最小值；（2）先求出曲线的切线方程，通过讨论a的范围，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）y′=

1

x+1

-1，因为0≤x≤1，所以y′≤0
所以y=g（x）-x在[0，1]上单调递减．
当x=1时，y取最小值为ln2-1．
故y=g（x）-x在[0，1]的最小值为ln2-1．
（2）函数t（x）的定义域为（-1，+∞），t′（x）=2ax-2+

1

x+1

，t′（0）=-1．
所以在切点P（0，1）处的切线l的斜率为-1．
因此切线方程为y=-x+1．
因此切线l与曲线C有唯一的公共点，所以，方程ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．显然，x=0是方程的一个解，
令φ（x）=ax²-x+ln（x+1），则φ′（x）=2ax-1+

1

x+1

=

2ax[x-( 1 2a -1)]

x+1

．
当a=

1

2

时，φ′（x）=

x2

x+1

≥0，于是，φ（x）在（-1，+∞）上单调递增，即x=0是方程唯一的实数解．
当a＞

1

2

时，由φ′（x）=0，得x₁=0，x₂=

1

2a

-1∈（-1，0）．
在区间（-1，x₂）上，φ′（x）＞0，在区间（x₂，0）上，φ′（x）＜0．
所以，函数φ（x）在x₂处有极大值φ（x₂），且φ（x₂）＞φ（0）=0．
而当x→-1时，φ（x）→-∞，因此，φ（x）=0在（-1，x₂）内也有一个解，矛盾．
综上，得a=

1

2

．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的最值问题，是一道中档题．