Question

7．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$sinA（sinB+\sqrt{3}cosB）=\sqrt{3}sinC$．
（1）求角A的大小；    
（2）若$a=2\sqrt{3}，\;b+c=4$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得$sinAsinB=\sqrt{3}cosAsinB$，又sinB≠0，由此得$tanA=\sqrt{3}$，结合范围0＜A＜π，即可求A．
（2）由已知及余弦定理可解得$bc=\frac{4}{3}$，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由A+B+C=π，得sinC=sin（A+B），代入已知条件得：$sinAsinB+\sqrt{3}sinAcosB=\sqrt{3}sinAcosB+\sqrt{3}cosAsinB$，…（1分）
即：$sinAsinB=\sqrt{3}cosAsinB$，…（3分）
∵sinB≠0，由此得$tanA=\sqrt{3}$，…（4分）
∵0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得${（2\sqrt{3}）^2}={（b+c）^2}-2bc-2bc•cos\frac{π}{3}$，…（7分）
即：$12=16-2bc-2bc•\frac{1}{2}$，
∴$bc=\frac{4}{3}$，…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bc•sinA=\frac{1}{2}•\frac{4}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理，正弦函数的图象和性质的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．