Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

）的离心率e=

1

2

．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

（1）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

）的离心率e=

1

2

，
∴

a2-3

a

=

1

2

，解得a=2．
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）依题意，圆心C（t，0）（0＜t＜2）．
由

x=t x2 4 + y2 3 =1

，得y2=

12-3t2

4

．
∴圆C的半径为r=

12-3t2

2

．
∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，
∴0＜t＜

12-3t2

2

，即0＜t＜

2 21

7

．
∴弦长|AB|=2

r2-d2

=2

12-3t2 4 -t2

=

12-7t2

．
∴△ABC的面积S=

1

2

•t•

12-7t2

=

1

2 7

×(

7

t)•

12-7t2

≤

1

2 7

×

( 7 t)2+12t-7t2

2

=

3 7

7

．
当且仅当

7

t=

12-7t2

，即t=

42

7

时等号成立．
所以△ABC的面积的最大值为

3 7

7

．