Question

（2012•嘉定区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于A、B两点，其中A在第一象限．过点A作x轴的垂线，垂足为C．设直线AB的斜率为k．
（1）若直线AB平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点A到直线BC的距离．

Answer 1

分析：（1）先确定MN中点的坐标，利用直线AB平分线段MN，可得直线AB过线段MN的中点，从而可求斜率；
（2）求得A，B，C的坐标，确定直线BC的方程，利用点到直线的距离公式，即可得到结论．

解答：解：（1）由题设知，a=2，b=

2

，故M（-2，0），N（0，-

2

），所以线段MN中点的坐标为（-1，-

2

2

）．…（3分）
由于直线AB平分线段MN，故直线AB过线段MN的中点，
又直线AB过坐标原点，所以k=

- 2 2

-1

=

2

2

．…（6分）
（2）当k=2时，直线AB的方程为y=2x，由

y=2x x2 4 + y2 2 =1

解得x=±

2

3

，…（8分）
从而A点的坐标是（

2

3

，

4

3

），B点的坐标为（-

2

3

，-

4

3

），…（10分）
于是C点的坐标为（

2

3

，0）．…（11分）
所以直线BC的方程为x-y-

2

3

=0．…（12分）
所以点A到直线BC的距离为d=

| 2 3 - 4 3 - 4 3 |

2

=

2 2

3

．…（14分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．