Question

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：(x-1)2+y2=25和圆C2：(x-4)2+(y-5)2=16．
（1）若直线l₁经过点P（2，-1）和圆C₁的圆心，求直线l₁的方程；
（2）若点P（2，-1）为圆C₁的弦AB的中点，求直线AB的方程；
（3）若直线l过点A（6，0），且被圆C₂截得的弦长为4

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）求出圆C1：(x-1)2+y2=25的圆心坐标，利用两点式求出直线直线l₁的方程；
（2）求出点P（2，-1）为圆C₁的连线的斜率，即可求解弦AB的斜率，然后求直线AB的方程；
（3）设出直线l过点A（6，0）的方程，利用圆C₂的半径、半弦长以及圆心到直线的距离满足勾股定理求出直线的斜率，然后求直线l的方程．

解答：解：（1）因为在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：(x-1)2+y2=25的圆心坐标（1，0）
直线l₁经过点P（2，-1）和圆C₁的圆心，所以直线l₁的方程为：

y-0

x-1

=

1

1-2

，即x+y-1=0；
（2）点P（2，-1）为圆C₁的圆心的连线的斜率为：k=

0+1

1-2

=-1，所以AB的斜率为：1，
所以直线AB的方程为y+1=x-2，
直线AB的方程：x-y-3=0；
（3）因为直线l过点A（6，0），且被圆C₂截得的弦长为4

3

，圆C2：(x-4)2+(y-5)2=16
的圆心坐标（4，5），半径为4，设直线l的方程为y=k（x-6），弦心距为：

|4k-5-6k|

1+k2

=

|2k+5|

1+k2

．
圆C₂的半径、半弦长以及圆心到直线的距离满足勾股定理，
所以16=(2

3

)2+(

|2k+5|

1+k2

)2，解得k=-

21

20

，
所求直线的方程为：21x+20y-126=0．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离公式的应用，直线方程的求法．