Question

已知函数f(x)=4co

s

2

x+4

3

sinxcosx．
（I）求f（x）取得最大值时x的集合；
（Ⅱ）求f（x）在[-

π

4

，

π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（I）将函数f（x）解析式两项分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后提取4，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数取得最大值时的角度列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到f（x）取得最大值时x的集合；
（Ⅱ）由x的范围，求出第一问化简得出的函数解析式中角度的范围，利用正弦函数的图象即可得出函数f（x）的值域．

解答：解：（I）f（x）=4cos²x+4

3

sinxcosx
=2（1+cos2x）+2

3

sin2x
=4（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）+2
=4sin（2x+

π

6

）+2，
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

6

，k∈Z时，取得最大值，
则函数f（x）取得最大值时x的集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

4

，

π

6

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

π

2

]，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-2

3

+2≤4sin（2x+

π

6

）+2≤6，
则f（x）在[-

π

4

，

π

6

]上的值域为[2-2

3

，6]．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数定义域与值域，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式是解本题的关键．