桌子上有两个形状完全相同的盒子.第一个盒子里有2个白球和4个红球.第二个盒子里有2个黑球和1个红球．每次操作都是先在两个盒子中随机地选出一个盒子.再在这个盒子中随机地选出一个球．(1)求操作一次之后无法判断所选的盒子是第几个盒子的概率,(2)如果每次操作之后都将选出的球放回到原来盒子中.那么重复操作4次后.求其中红球个数的分布列和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．桌子上有两个形状完全相同的盒子，第一个盒子里有2个白球和4个红球，第二个盒子里有2个黑球和1个红球．每次操作都是先在两个盒子中随机地选出一个盒子，再在这个盒子中随机地选出一个球．
（1）求操作一次之后无法判断所选的盒子是第几个盒子的概率；
（2）如果每次操作之后都将选出的球放回到原来盒子中，那么重复操作4次后，求其中红球个数的分布列和期望；
（3）如果操作一次取出的是红色球，求这个球来自于第一个盒子的概率．

分析（1）由已知得选出的球是红球，由此能求出操作一次之后无法判断所选的盒子是第几个盒子的概率．
（2）重复操作4次后，其中红球个数X～B（4，$\frac{1}{2}$），由此能求出红球个数的分布列和期望．
（3）设A₁表示取到的红球来自第一个盒子，A₂表示取到的盒子来自第二个盒子，B表示取到红球，由此利用条件概率公式能求出操作一次取出的是红色球，这个球来自于第一个盒子的概率．

解答解：（1）∵操作一次之后无法判断所选的盒子是第几个盒子，
∴选出的球是红球，
∴操作一次之后无法判断所选的盒子是第几个盒子的概率：
p=$\frac{1}{2}×\frac{4}{6}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$．
（2）每次取到红取的概率都是p=$\frac{1}{2}×\frac{4}{6}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴重复操作4次后，其中红球个数X～B（4，$\frac{1}{2}$），
P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{16}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{4}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{16}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$

EX=4×$\frac{1}{2}$=2．
（3）设A₁表示取到的红球来自第一个盒子，A₂表示取到的盒子来自第二个盒子，B表示取到红球，
由P（A₁B）=$\frac{1}{2}×\frac{4}{6}$=$\frac{1}{3}$，
P（B）=$\frac{1}{2}×\frac{4}{6}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴操作一次取出的是红色球，这个球来自于第一个盒子的概率：
P（A₁/B）=$\frac{P（{A}_{1}B）}{P（{B}_{\;}）}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率和二项分布的合理运用．

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