Question

已知函数f（x）是定义域在（-∞，0）∪（0，+∞）上的不恒为零的函数，且对于任意非零实数a，b满足f（ab）=f（a）+f（b）．
（1）求f（1）与f（-1）的值；
（2）判断并证明y=f（x）的奇偶性；
（3）若函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，求不等式f（x-1）≤0的解集．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件中的恒等式，可对a、b进行赋值，令a=b=1，求出f（1）的值，令a=b=-1，求出f（-1）的值；
（2）根据f（-1）=0，令b=-1，可得到f（-x）与f（x）的关系，根据奇偶性的定义可进行判定．
（3）由（2）可知 函数为偶函数，因为函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（x-1）≤0=f（-1），得到|x-1|≤1且x-1≠0，解之即可．

解答： 解：（1）令a=b=1，得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令a=b=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0，
综上，f（1）=0，f（-1）=0，
（2）f（x）为偶函数．
证明：∵f（ab）=f（a）+f（b），∴f（xy）=f（x）+f（y），
令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得f（-x）=f（x）+f（-1），
又f（-1）=0，
∴f（-x）=f（x），
又∵f（x）不恒为0，
∴f（x）为偶函数．
（3）由（2）可知 函数为偶函数，因为函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由f（x-1）≤0=f（1），所以|x-1|≤1且x-1≠0，解得0≤x≤2且x≠1，
所以不等式f（x-1）≤0的解集为{x|0≤x≤2，且x≠1}．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数奇偶性的判断，对于抽象函数问题，赋值法是常用的方法，属于基础题．