Question

对于二次函数f（x）=ax²+bx+c，有下列命题：
①若f（p）=f（q）（p≠q），则f（p+q）=c；
②若f（p）=q，f（q）=p，（p≠q），则f（p+q）=-（p+q）；
③若f（p+q）=c（p≠q），则p+q=0或f（p）=f（q）．
其中一定正确的命题是

①③

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：①若f（p）=f（q）（p≠q），说明对称轴为x=

p+q

2

则f（p+q）=f（0）=c
②说明对称轴为x=

p+q

2

则f（p+q）=f（0）=c

解答：解：①若f（p）=f（q）（p≠q），则说明对称轴为x=

p+q

2

则f（p+q）=f（0）=c，①正确
②若f（p）=q，f（q）=p，即

ap2+bp+c=q① aq2+bq+c=p②

①-②并整理得出a（p+q）+b+1=0
f（p+q）=a（p+q）²+b（p+q）+c=（p+q）[a（p+q）+b]+c=）=-（p+q）+c；当且仅当c=0时f（p+q）=-（p+q）；②错误
③若f（p+q）=c（p≠q），即a（p+q）²+b（p+q）+c=c，整理（p+q）[a（p+q）+b]=0，所以p+q=0
或a（p+q）+b=0，此时p+q=-

b

a

，对称轴为x=

p+q

2

所以f（p）=f（q）． ③正确
综上所述一定正确的命题是①③
故答案为：①③

点评：本题主要考查二次函数的对称性．二次函数的对称性主要研究的是，到对称轴距离相等的点对应函数值相等，反之也成立．