Question

椭圆

x2

a2

+y2=1(a＞1)的一个焦点为F，点P在椭圆上，且|

OP

|=|

OF

|（O为坐标原点），则△OPF的面积S=

1

2

a2-1

．

Answer 1

分析：利用椭圆的参数方程设出P的坐标，根据|

OP

|=|

OF

|，求出P的纵坐标，然后求出三角形的面积即可．

解答：解：椭圆

x2

a2

+y2=1(a＞1)的一个焦点为F（

a2-1

，0），
设P（acosθ，sinθ）θ∈(0，

π

2

)，因为|

OP

|=|

OF

|，
所以，a²cos²θ+sin²θ=（

a2-1

）²，解得sinθ = 

1 a2-1

，
所以△OPF的面积S=

1

2

×(

a2-1

)2×

1 a2-1

=

1

2

a2-1

．
故答案为：

1

2

a2-1

点评：本题是中档题，考查椭圆与向量的关系，求出P的纵坐标是解题的关键，考查计算能力．