已知椭圆的一个焦点为
,离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若动点为椭圆
外一点,且点
到椭圆
的两条切线相互垂直,求点
的轨迹方程.
(1);(2)
.
解析试题分析:(1)利用题中条件求出的值,然后根据离心率求出
的值,最后根据
、
、
三者的关系求出
的值,从而确定椭圆
的标准方程;(2)分两种情况进行计算:第一种是在从点
所引的两条切线的斜率都存在的前提下,设两条切线的斜率分别为
、
,并由两条切线的垂直关系得到
,并设从点
所引的直线方程为
,将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于
的一元二次方程,利用
得到有关
的一元二次方程,最后利用
以及韦达定理得到点
的轨迹方程;第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点
的坐标,并验证点
是否在第一种情况下所得到的轨迹上,从而得到点
的轨迹方程.
(1)由题意知,且有
,即
,解得
,
因此椭圆的标准方程为
;
(2)①设从点所引的直线的方程为
,即
,
当从点所引的椭圆
的两条切线的斜率都存在时,分别设为
、
,则
,
将直线的方程代入椭圆
的方程并化简得
,
,
化简得,即
,
则、
是关于
的一元二次方程
的两根,则
,
化简得;
②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直,则
的坐标为
,此时点
也在圆
上.
综上所述,点的轨迹方程为
.
考点:本题以椭圆为载体,考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程,将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化,计算量较大,从中也涉及了方程思想的灵活应用,属于难题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆Γ:(a>b>0)经过D(2,0),E(1,
)两点.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)若直线与椭圆Γ交于不同两点A,B,点G是线段AB中点,点O是坐标原点,设射线OG交Γ于点Q,且
.
①证明:
②求△AOB的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的离心率
,
分别为椭圆的长轴和短轴的端点,
为
中点,
为坐标原点,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线
交椭圆于
两点,求
面积最大时,直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:(
)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);
(ii)当最小时,求点T的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图5,为坐标原点,双曲线
和椭圆
均过点
,且以
的两个顶点和
的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求的方程;
(2)是否存在直线,使得
与
交于
两点,与
只有一个公共点,且
?证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分13分)
如图,已知双曲线的右焦点
,点
分别在
的两条渐近线上,
轴,
∥
(
为坐标原点).
(1)求双曲线的方程;
(2)过上一点
的直线
与直线
相交于点
,与直线
相交于点
,证明点
在
上移动时,
恒为定值,并求此定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆的右焦点为
,点
是椭圆上任意一点,圆
是以
为直径的圆.
(1)若圆过原点
,求圆
的方程;
(2)写出一个定圆的方程,使得无论点在椭圆的什么位置,该定圆总与圆
相切,请写出你的探究过程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的一个焦点为
,且离心率为
.
(1)求椭圆方程;
(2)斜率为的直线
过点
,且与椭圆交于
两点,
为直线
上的一点,若△
为等边三角形,求直线
的方程.
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