Question

已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）﹣f₁（x）≤k（x﹣a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）已知函数f（x）=2sinx，x∈[0，]，试写出f₁（x），f₂（x）的表达式，并判断f（x）是否为[0，]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知b＞0，函数g（x）=﹣x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意可得，
于是f₂（x）﹣f₁（x）=2sinx．
若f（x）是[0， ]上的“k阶收缩函数”，则2sinx≤kx在[0， ]上恒成立，且x₁∈[0， ]使得2sinx＞（k﹣1）x 成立．
令φ（x）=sinx﹣x，x∈[0， ]，则φ′（x）=cosx﹣1＜0，
所以φ（x）=sinx﹣x在[0， ]单调递减，
∴φ（x）≤φ（0），x∈[0， ]，
即sinx≤x，于是2sinx≤2x在[0， ]恒成立；
又x₁= ，2sinx＞x成立．
故存在最小的正整数k=2，使f（x）为[0， ]上的“2阶收缩函数”． 
（2）g'（x）=﹣3x²+6x=﹣3x（x﹣2），
令g'（x）=0得x=0或x=2．
令g（x）=0，解得x=0或3．
函数g（x），g′（x）的变化情况如下：
 
（i）b≤2时，g（x）在[0，b]上单调递增，因此，g₂（x）=g（x）=﹣x³+3x²，g₁（x）=g（0）=0．
因为g（x）=﹣x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，
所以，①g₂（x）﹣g₁（x）≤2（x﹣0）对x∈[0，b]恒成立；
②存在x∈[0，b]，使得g₂（x）﹣g₁（x）＞（x﹣0）成立．
①即：﹣x³+3x²≤2x对x∈[0，b]恒成立，
由﹣x³+3x²≤2x，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使﹣x³+3x²≤2x对x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得x（x²﹣3x+1）＜0成立．
由x（x²﹣3x+1）＜0得：x＜0或，
所以，需且只需．
综合①②可得：
（ii）当b＞2时，显然有，由于g（x）在[0，2]上单调递增，根据定义可得：，
可得，
此时，g₂（x）﹣g₁（x）≤2（x﹣0）不成立．
综合（i），（ii）可得：．