Question

4．在四边形ABCD（A，B，C，D按逆时针排列）中，$\overrightarrow{AB}$=（6，1），$\overrightarrow{CD}$=（-2，-3），若有$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{DA}$，又有$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$，求$\overrightarrow{BC}$的坐标．

Answer 1

分析 根据题意，设$\overrightarrow{BC}$=（x，y），由此表示出$\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{BD}$的坐标，结合题意可得x=-2y，①以及（6+x）（x-2）+（1+y）（y-3）=0，②，联立①、②，解可得答案．

解答 解：设$\overrightarrow{BC}$=（x，y），
则$\overrightarrow{DA}$=-$\overrightarrow{AD}$=-（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$）=（-x-4，2-y），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=（6+x，1+y），$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=（x-2，y-3）；
若$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{DA}$，则有x（2-y）=y（-x-4），即x=-2y，①，
若$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$，则有（6+x）（x-2）+（1+y）（y-3）=0，②，
联立①、②，解可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=3}\end{array}\right.$，
则$\overrightarrow{BC}$=（2，-2）或（-6，3）．

点评 本题考查向量以及向量数量积的坐标运算，解题时要先将求出向量的坐标，进而利用向量平行、垂直的性质得到关于x、y的关系式．