Question

已知f（x）是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1，f（x）=x²．如果函数g（x）=f（x）-（x+m）有两个零点，则实数m的值为（　　）

• A．2k（k∈Z）
• B．2k或2k+

  1

  4

  （k∈Z）
• C．0
• D．2k或2k-

  1

  4

  （k∈Z）

Answer 1

分析：利用函数是周期为2的偶函数，作出函数y=f（x）的图象，利用直线y=x+m与曲线y=f（x）恰有两个公共点，利用数形结合的思想求m的值．

解答：解：由g（x）=f（x）-（x+m）=0得f（x）=（x+m）．设y=f（x），y=x+m．
因为f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，所以当-1≤x≤1时，f（x）=x²．
①由图象可知当直线y=x+m经过点O（0，0）时，直线y=x+a与y=f（x）恰有两个公共点，此时m=0，由于函数f（x）是周期为2的函数，所以当m=2k时（k∈Z），
直线y=x+m与曲线y=f（x）恰有两个公共点．
②由图象可知直线y=x+m与f（x）=x²相切时，直线y=x+m与曲线y=f（x）也恰有两个公共点．
f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x=

1

2

，所以y=

1

4

，即切点为（

1

2

，

1

4

），
代入直线y=x+m得m=-

1

4

．
由于函数f（x）是周期为2的函数，所以当m=2k-

1

4

时（k∈Z），直线y=x+m与曲线y=f（x）恰有两个公共点．
综上满足条件的实数m的值为m=2k或m=2k-

1

4

时（k∈Z）．
故选D．

点评：本题考查了两个曲线的交点问题，要充分利用函数的周期性，利用数形结合的思想去解决，综合性较强．