Question

在数列{a_n}中，a_n＞0，S_n为其前n项和，2S_n=4a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足对任意n∈N^*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-

1

2

n-1，求数列{b_n}的第5项b₅．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的性质、递推式的意义即可得出．

解答： 解：（1）∵2S_n=4a_n-1，当n=1时，2S1=4a1-1⇒a1=

1

2

，
又由

2Sn=4an-1 2Sn+1=4an+1-1

，
两式相减得：2a_n+1=4a_n+1-4a_n化为a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是以首项为

1

2

，公比为2的等比数列，
∴an=2n-2．
（2）∵an=2n-2，
由b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-

1

2

n-1，①
令n=1，则b₁a₁=2-

1

2

-1，解得b₁=1．
∵b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-

1

2

n-1，
当n≥2时，b₁a_n-1+b₂a_n-2+…+b_n-2a₂+b_n-1a₁=2n-1-

1

2

n-

1

2

，
将上式两边同乘公比2得，b₁a_n+b₂a_n-1+…b_n-1a₂=2ⁿ-n-1．②
①-②可得：b_na₁=

1

2

n，（n≥2），
∴b₅=5．

点评：本题考查了递推式与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．