Question

（2012•商丘二模）选修4-1：几何证明选讲
如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB为直
径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E．
（Ⅰ）求证：DC是⊙O的切线；
（Ⅱ）若EB=6，EC=6

2

，求BC的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先得出点C在⊙O上，连接OC，可得∠OCA=∠OAC=∠DAC，从而OC∥AD，结合AD⊥DC得出DC⊥OC，从而DC是⊙O的切线
（Ⅱ）利用切割线定理求出EA=12，再证出△ECB∽△EAC，得出AC=

2

BC，在RT△ACB中求解．

解答：（Ⅰ）证明：∵⊙O是以AB为直径的圆，∠ACB=90°，∴点C在⊙O上，连接OC，可得∠OCA=∠OAC=∠DAC，∴OC∥AD，
又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC，∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线．
（Ⅱ）解：∵DC是⊙O的切线，∴EC²=EB•EA，又∵EB=6，EC=6

2

，∴EA=12．
∵∠ECB=∠EAC，∠CEB=∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴

BC

AC

=

EC

EA

=

2

2

，AC=

2

BC，
∵AC²+BC²=AB²=36，∴BC=2

3

点评：本题考查圆的切线的证明，与圆有关的线段求解．需掌握切割线定理、弦切角定理等知识．