Question

如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。

（1）若，求证：平面平面；

（2）点在线段上，，试确定的值，使平面；

（3）在（2）的条件下，若平面平面ABCD，且，求二面角的大小。

 

Answer 1

【答案】

（3）60°.

【解析】（1）要证平面平面，只要证明AD⊥平面PQB，转化为AD⊥PQ，AD⊥BQ；（2）时，证明平面；（3）向量法求解。

证明：（1）连BD，四边形ABCD菱形，  ∵AD⊥AB，  ∠BAD=60°

△ABD为正三角形， Q为AD中点， ∴AD⊥BQ

∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ

又BQ∩PQ=Q  ∴AD⊥平面PQB， AD平面PAD

∴平面PQB⊥平面PAD；……………………4分

（2）当时，平面

下面证明，若平面，连交于

由可得，，

平面，平面，平面平面，

   即：   ；……………………8分

（3）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQ⊥AD。

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，

以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）

设平面MQB的法向量为，可得

，解得

取平面ABCD的法向量

故二面角的大小为60°；……………………12分