Question

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=m|x-1|（m∈R）．
（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数m的取值范围；
（2）若当x∈R时，关于x的不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[0，2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．

Answer 1

分析：（1）将方程变形，利用x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=m有且仅有
一个等于1的解或无解，从而可求实数m的取值范围；
（2）将不等式分离参数，确定函数的值域，即可求得实数m的取值范围．
（3）去绝对值，分段求函数的最值．

解答：解：：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x²-1|=m|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-m）=0，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，
即要求方程|x+1|=m有且仅有一个等于1的解或无解，∴m＜0．
（2）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x²-1）≥m|x-1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时m∈R；
②当x≠1时，（*）可变形为m≤

x2-1

|x-1|

，令φ（x）=

x2-1

|x-1|

=

x+1 ， x＞1 -(x+1) ，x＜1

，
因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，所以φ（x）＞-2，故此时m≤-2．
综合①②，得所求实数m的取值范围是（-∞，-2]．
（3）（Ⅲ）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+m|x-1|=

x2+mx-m-1(x≥1) -x2-mx+m+1(-1≤x＜1) x2-mx+m-1(x＜-1)

，
由此可得，
①当m≥0时，-

m

2

≤0，h（x）在[0，1）上递减，[1，2]上为增函数，由于h（0）=m+1，h（2）=3+m，
故它的最大值为h（2）=3+m．
②当-2≤m＜0时，0＜-

m

2

≤1，由于h（x）在[0，-

m

2

）上单调递增，在[-

m

2

，1）上单调递减，
在[1，2]上为增函数，且h（-

m

2

）=(

m

2

+1)2，h（2）=3+m，故h（x）在[0，2]上的最大值为h（2）=a+m．
③当-3≤m＜-2时，1＜-

m

2

≤

3

2

，由于h（x）在[1，1]上递增，在[1，-

m

2

）上递减，在[-

m

2

，2]上递增，
h（1）=0，h（2）=3+m≥0，故h（x）在[0，2]上的最大值为h（2）=3+m．
④当m＜-3时，-

m

2

＞

3

2

，h（x）在[0，1）上递增，在[1，-

m

2

]上为减函数，在（-

m

2

，2]上递增，
故h（x）在[0，2]上的最大值为h（1）=0．
综上可得，当m≥-3时，h（x）在[0，2]上的最大值为h（2）=3+m；
当m＜-3时，h（x）在[0，2]上的最大值h（1）=0．

点评：本题考查函数的零点与方程的根的关系，解题的关键是根据所给的条件及相关知识对问题进行正确转化，本题比较抽象，对问题的转化尤其显得重要，本题在求解问题时用到了分类讨论的思想，转化化归的思想，数学综合题的求解过程中，常到到这两个思想，属于中档题．