Question

【题目】如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．
（Ⅰ）求证：AD∥MN；
（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；
（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，

所以AD∥平面FBC．

又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，

所以AD∥MN．

（Ⅱ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD．

因为AD⊥FC，

所以AD⊥平面CDEF．

所以平面ADMN⊥平面CDEF．

（Ⅲ）解：因为EA⊥CD，AD⊥CD，

所以CD⊥平面ADE，

所以CD⊥DE．

由（Ⅱ）得AD⊥平面CDEF，

所以AD⊥DE．

所以DA，DC，DE两两互相垂直．

建立空间直角坐标系D﹣xyz．

不妨设EF=ED=1，则CD=2，设AD=a（a＞0）．

由题意得，A（a，0，0），B（a，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，1），F（0，1，1）．

所以 =（a，0，0）， =（0，﹣1，1）．

设平面FBC的法向量为 =（x，y，z），则

即 令z=1，则y=1．

所以 =（0，1，1）．

又平面ADE的法向量为 =（0，2，0），所以

= = ．

因为二面角A﹣l﹣B的平面角是锐角，

所以二面角A﹣l﹣B的大小45°

【解析】（Ⅰ）通过证明AD∥BC，推出AD∥平面FBC，然后证明平AD∥MN．（Ⅱ）证明AD⊥CD，结合AD⊥FC，说明AD⊥平面CDEF，然后证明平面ADMN⊥平面CDEF．（Ⅲ）说明DA，DC，DE两两互相垂直，建立空间直角坐标系D﹣xyz，不妨设EF=ED=1，求出相关的坐标，求出平面FBC的法向量，平面ADE的法向量，通过向量的数量积求解二面角A﹣l﹣B的平面角的大小即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．