【题目】已知函数f(x)=x3+bx2+cx﹣1当x=﹣2时有极值,且在x=﹣1处的切线的斜率为﹣3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[﹣1,2]上的最大值与最小值.
【答案】
(1)解f'(x)=3x2+2bx+c
依题意得 解得:
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x3+3x2﹣1
(2)解由(1)知f'(x)=3x2+6x.令f'(x)=0,
解得x1=﹣2,x2=0
列表:
x | ﹣1 | (﹣1,0) | 0 | (0,2) | 2 |
f'(x) | ﹣ | + | |||
f(x) | 1 | ﹣1 | 19 |
从上表可知,f(x)在区间[﹣1,2]上的最大值是19,最小值是﹣1
【解析】(1)根据函数f(x)在x=﹣2处有极值,且在x=﹣1处切线斜率为﹣3,列出方程组;(2)利用导数求出函数的单调区间,即可求出函数的最大值与最小值;
【考点精析】通过灵活运用函数的最大(小)值与导数,掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值即可以解答此题.
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【题目】已知函数f(x)= sin2x﹣ cos2x.
(1)求f(x)的最小周期和最小值;
(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x∈ 时,求g(x)的值域.
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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
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【题目】已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点,且圆心M在x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设点P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
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【题目】设直线l:y=2x+2,若l与椭圆 的交点为A,B,点P为椭圆上的动点,则使△PAB的面积为 的点P的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】若F1,F2是双曲线的两个焦点
(1)若双曲线上一点M到左焦点F1的距离等于7,求点M到右焦点F2的距离;
(2)若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.
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【题目】已知抛物线的焦点为,准线为,过点的直线交拋物线于,两点,过点作准线的垂线,垂足为,当点坐标为时,为正三角形,则此时的面积为____________
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆的焦距为,离心率为,椭圆的右顶点为.
(1)求该椭圆的方程;
(2)过点作直线交椭圆于两个不同点,求证:直线的斜率之和为定值.
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