Question

.已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)离心率e=

3

2

，焦点到椭圆上的点的最短距离为2-

3

．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）设直线l：y=kx+1与椭圆交与M，N两点，当|MN|=

8 2

5

时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知得e=

c

a

=

3

2

，a-c=2-

3

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

得（4k²+1）x²+8kx=0．再由根的判别式和韦达定理能求出直线l的方程．

解答：解：（1）由已知得e=

c

a

=

3

2

，
∵a-c=2-

3

，
∴a=2，c=

3

∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1…（6分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

得（4k²+1）x²+8kx=0…（8分）
△=64k²，
∵直线l：y=kx+1与椭圆交与M，N两点，
∴△＞0，x1+x2=

-8k

4k2+1

，x1•x2=0
∴|MN|=

1+k2

|x1-x2|
=

1+k2

•

8|k|

4k2+1

=

8 2

5

，
∴k=±1，或k=±

14

7

，（10分）
∴直线方程为y=x+1，或y=-x+1，或y=

14

7

x+1，或y=-

14

4

x+1．（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．