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    （2011•浦东新区三模）某同学将命题“在等差数列{an}中，若p+m=2n，则有ap+am=2an（p，m，n∈N*）”改写成：“在等差数列{an}中，若1×p+1×m=2×n，则有1×ap+1×am=2×an（p，m，n∈N*）”，进而猜想：“在等差数列{an}中，若2p+3m=5n，则有2ap+3am=5an（p，m，n∈N*）．”
    （1）请你判断以上同学的猜想是否正确，并说明理由；
    （2）请你提出一个更一般的命题，使得上面这位同学猜想的命题是你所提出命题的特例，并给予证明．
    （3）请类比（2）中所提出的命题，对于等比数列{bn}，请你写出相应的命题，并给予证明．
    分析：（1）利用等差数列的通项公式，可把2ap，3am，5an都用a1和d表示，化简即可得到2ap+3am=5an（p，m，n∈N*）．
    （2）解法一：可以把（1）中具体的数2，3，5用参数s，t，以及s+t代替，就可得到一个更一般的命题，同样用等差数列的通项公式，把数列中的每一项用a1和d表示，化简即可证明．
    解法二：可把（1）中左，右边两项推广到多项相加，只要项的前面系数和相等，就有项之和相等，同样用用等差数列的通项公式，把数列中的每一项用a1和d表示，化简即可证明．
    （3）解法一：类比等差数列的性质，得到等比数列的性质，就是把等差数列中的差变为商，和变为积，n倍变为n次方，即可把（2）中解法一类比过去．证明可以用等比数列的通项公式，把数列中的每一项用a1和q表示，再化简即可．
    解法二：和解法一一样，把（2）中解法二类比过去，用等比数列的通项公式，把数列中的每一项用a1和q表示，再化简即可．
    解答：解：（1）命题“在等差数列{an}中，若2p+3m=5n，则有2ap+3am=5an（p，m，n∈N*）”正确．
    证明：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由2p+3m=5n得：2ap+3am=2[a1+（p-1）d]+3[a1+（m-1）d]=5a1+d（2p+3m-5）=5a1+5（n-1）d=5[a1+（n-1）d]=5an，所以命题成立．
    （2）解法一：在等差数列{an}中，若sp+tm=kn，s+t=k，则有sap+tam=kan（s，t，k，p，m，n∈N*）．显然，当s=2，t=3，k=5时为以上某同学的猜想．
    证明：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由sp+tm=kn，s+t=k得sap+tam=s[a1+（p-1）d]+t[a1+（m-1）d]=（s+t）a1+d（sp+tm-s-t）=ka1+d（kn-k）=k[a1+（n-1）d]=kan，所以命题成立．
    （3）解法一：在等比数列{bn}中，
    若sp+tm=kn，s+t=k，则有bps•bmt=bnk（s，t，k，p，m，n∈N*）．
    证明：设等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，由sp+tm=kn，s+t=k（s，t，k，p，m，n∈N*）得，bps•bmt=（b1qp-1）s•（b1qm-1）t=b1s+tqps+mt-（s+t）=b1kqk（n-1）=（b1qn-1）k=bnk，所以命题成立．
    （2）解法二：在等差数列{an}中，若m1+m2+…+ms=n1+n2+…+nt，且m1p1+m2p2+…+msps=n1q1+n2q2+…+ntqt，则有m1ap1+m2ap2+…+msaps=n1aq1+n2aq2+…+ntaqt
    （m1，m2，…，ms，n1，n2，…，nt，p1，p2，…，ps，q1，q2，…，qt∈N*）．
    显然，当s=2，t=1，m1=2，m2=3，n1=5，p=p1，m=p2，n=q1时为某同学的猜想
    证明：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由m1+m2+…+ms=n1+n2+…+nt，且m1p1+m2p2+…+msps=n1q1+n2q2+…+ntqt得
    m1ap1+m2ap2+…+msaps
    =m1[a1+(p1-1)d]+m2[a1+(p 2-1)d]+…+ms[a1+(ps-1)]
    =（m1+m2+…+ms）a1-（m1+m2+…+ms）d+（m1p1+m2p2+…+msps）d
    =（n1+n2+…+nt）a1-（n1+n2+…+nt）d+（n1q1+n2q2+…+ntqt）d
    =n1[a1+（q1-1）d]+n2[a2+（q2-1）d]+…+ns[a1+（qs-1）]
    =n1aq1+n2aq2+…+ntaqt，所以命题成立．                          
    （3）解法二：在等比数列{bn}中，若m1+m2+…+ms=n1+n2+…+nt，且m1p1+m2p2+…+msps=n1q1+n2q2+…+ntqt，，则有
    b
    m1
    p1
    •
    b
    m2
    p2
    •…•
    b
    ms
    ps
    =
    b
    n1
    q1
    •
    b
    n2
    q2
    •…•
    b
    nt
    qt

    （m1，m2，…，ms，n1，n2，…，nt，p1，p2，…，ps，q1，q2，…，qt∈N*）．
    证明：设等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，由m1+m2+…+ms=n1+n2+…+nt，且m1p1+m2p2+…+msps=n1q1+n2q2+…+ntqt得，
    b
    m1
    p1
    •
    b
    m2
    p2
    •…•
    b
    ms
    ps
    =(b1qp1-1)m1•(b1qp2-1)m2•…•(b1qps-1)ms    =
    b
    m1=m2+…+ms
    1
    •
    q
    (p1m1+p2m2+…+psms)-(m1+m2+…+ms)
     
    a
    n1+n2+…+nt
    1
    •
    q
    (q1n1+q2n2+…+qsns)-(n1+n2+…+ns)
     

    =(b1qq1-1)n1•(b1qq2-1)n2•…•(bqqt-1)ns=
    b
    n1
    q1
    •
    b
    n2
    q2
    •…•
    b
    nt
    qt
    ，所以命题成立．
    点评：本题主要考查了应用等差数列，等比数列的通项公式证明等差，等比数列的性质．
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