Question

（2012•吉安二模）若A为抛物线y=

1

4

x2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B、C两点，则

AB

•

AC

等于

-3

．

Answer 1

分析：题意可得，A（0，0），抛物线的焦点（0，1），则可得直线BC的方程为：y=kx+1
联立方程

y=kx+1 y= 1 4 x2

可得

1

4

x2-kx-1=0设A（x₁，y₁）B（x₁，y₁），

AB

•

AC

=x1x2+y1y2，根据方程的根与系数的关系可求

解答：解：题意可得，A（0，0），抛物线的焦点（0，1）
则可得直线BC的方程为：y=kx+1
联立方程

y=kx+1 y= 1 4 x2

可得

1

4

x2-kx-1=0
设A（x₁，y₁）B（x₁，y₁），
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1

AB

•

AC

=x1x2+y1y2=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-4（1+k²）+k•4k+1=-3
故答案为：-3

点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，处理的一般思路是联立方程，根据方程的根与系数的关系进行求解．