Question

直线l与抛物线相交于A，B两点，F是抛物线的焦点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么

OA

•

OB

=-3”是真命题
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是抛物线上三点，且|AF|，|BF|，|DF|成等差数列．当AD的垂直平分线与x轴交于点T（3，0）时，求点B的坐标．

Answer 1

分析：（1）设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可，（2）由|AF|，|BF|，|DF|成等差数列，则2|BF|=|AF|+|DF|，即，从而问题可解．

解答：解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y²=4x于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，
此时，直线l与抛物线相交于点A（3，2

3

）、B（3，-2

3

）．
∴

OA

OB

=-3
当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0，
由

y2=4x y=k(x-3)

得ky²-4y-12k=0⇒y₁y₂=-12
又∵x1=

1

4

y12，x2=

1

4

y22∴

OA

OB

=-3，
综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么

OA

OB

=-3”是真命题；
综上，命题成立．
（2）由|AF|，|BF|，|DF|成等差数列，则2|BF|=|AF|+|DF|，即2x₂=x₁+x₃
直线AD斜率k=

y3-y1

x3-x1

 =

4

y3+y1

所以y3+y1=

4

k

，设AD中点为(x2，

2

k

)
故AD的垂直平分线为y-

2

k

=-

1

k

(x-x2)
令y=0，得x=2+x₂，∴x₂=1，代入y²=4x得y=±2，故B（1，2）或B（1，-2）

点评：本题考查了真假命题的证明，但要知道向量点乘运算的知识．