Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE与AC相交于点P．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O₂的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

Answer 1

解：（1）连接AB，
∵AC是⊙O₁的切线，∴∠BAC=∠D．
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，可得AD∥EC；
（2）∵PA是⊙O₁的切线，PD是⊙O₂的割线，
∴PA²=PB•PD，即6²=PB（PB+9），解之得PB=3．
又∵⊙O₂中由相交弦定理，得PA•PC=PB•PE，
∴6×2=3×PE，得PE=4．
∵AD是⊙O₂的切线，DE是⊙O₂的割线，
∴AD²=DB•DE=9×16=144，解得AD=12．
分析：（1）由弦切角定理，得∠BAC=∠D．由同弧所对的圆周角，得∠BAC=∠E，所以∠D=∠E，最后由平行线的判定得AD∥EC；
（2）在⊙O₁中利用切割线定理，算出PB=3．再在⊙O₂中由相交弦定理，得出PE=4，最后在⊙O₂利用切割线定理，即可算出
AD的长．
点评：几何证明选讲主要考查圆内接四边行、圆的切线性质、圆周角与弦切角等性质、相似三角形、弧与弦的关系、试题分两问，难度不大，图形比较简单，可以考作辅助线，但非常简单．