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(本小题满分16分)

设函数(其中常数>0,且≠1).

(Ⅰ)当时,解关于的方程(其中常数);

(Ⅱ)若函数上的最小值是一个与无关的常数,求实数的取值范围.

 

【答案】

 

(1)x=lg.

(2)当a时,f(x)在(-∞,2]上的最小值与a无关

【解析】解 (Ⅰ)f(x)=

① 当x<0时,f(x)=>3.因为m>2.则当2<m≤3时,方程f(x)=m无解;

m>3,由10x=,得x=lg.                           …………………… 1分

② 当x≥0时,10x≥1.由f(x)=m得10xm,∴(10x)2m10x+2=0.

因为m>2,判别式m2-8>0,解得10x=. …………………… 3分

因为m>2,所以>>1.所以由10x=,解得x=lg.

令=1,得m=3.                              …………………… 4分

所以当m>3时,=<=1,

当2<m≤3时,=>=1,解得x=lg .…………… 5分

综上,当m>3时,方程f(x)=m有两解x=lg x=lg

当2<m≤3时,方程f(x)=m有两解x=lg .…………………… 6分

(2) (Ⅰ)若0<a<1,当x<0时,0<f(x)=<3;当0≤x≤2时,f(x)=ax+.… 7分

tax,则t∈[a2,1],g(t)=t+在[a2,1]上单调递减,所以当t=1,即x=0时f(x)取得最小值为3.

ta2时,f(x)取得最大值为.此时f(x)在(-∞,2]上的值域是(0,],没有最小值.…………………………… 9分

(Ⅱ)若a>1,当x<0时,f(x)=>3;当0≤x≤2时f(x)=ax+.

taxg(t)=t+,则t∈[1,a2].

① 若a2g(t)=t+在[1,a2]上单调递减,所以当ta2x=2时f(x)取最小值a2+,最小值与a有关;…………………………… 11分

a2g(t)=t+在[1,]上单调递减,在[,a2]上单调递增,…………13分

所以当t=即x=logaf(x)取最小值2,最小值与a无关.……………… 15分

综上所述,当a时,f(x)在(-∞,2]上的最小值与a无关.……………………… 16分

 

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