如图,已知四棱锥S―ABCD的底面是边长为4的正方形,S在底面上的射影O落在正方形ABCD内,且O到AB、AD的距离分别为2和1.
(I)求证是定值;
(II)已知P是SC的中点,且SO=3,问在棱SA上是否存在一点Q,使得异面直线OP与BQ所成的角为90°?若存在,请给出证明,并求出AQ的长;若不存在,请说明理由.
解:法一:(I)以O为坐标原点,以OS所在直线为Oz轴,过O且平行于AD的直线为Ox轴.过O且平行于AB的直线为Oy轴,建立如图所示空间直角坐标系
设S(0,0,z)(z>0,z∈R)
则
即为定值
(II)由(I)建立的空间直角坐标系可知
A(2,-1,0),B(2,3,0)C(-2,3,0),S(0,0,3)
P(-1,)
设点Q(x,y,z),则存在λ使
法二:(I)证明:在△SDC内,作SE⊥CD交CD于E,连结OE
∵SO⊥平面ABCD ∴SO⊥CD
∴CD⊥平面SOE ∴SO⊥OE
∴OE//AD ∴DE=1
从而CE=3
即为定值
(II)利用其它方法求解同样可得分
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AQ |
3 |
4 |
AS |
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