【题目】已知函数f(x)=|x|+|x﹣1|.
(Ⅰ)若f(x)≥|m﹣1|恒成立,求实数m的最大值M;
(Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下,正实数a,b满足a2+b2=M,证明:a+b≥2ab.
【答案】解:( I)由已知可得 ,
所以fmin(x)=1,
所以只需|m﹣1|≤1,解得﹣1≤m﹣1≤1,∴0≤m≤2,
所以实数m的最大值M=2
( II)法一:综合法
∴ab≤1∴ ,当且仅当a=b时取等号,①
又∴ ∴ ,当且仅当a=b时取等号,②
由①②得,∴ ,所以a+b≥2ab
法二:分析法因为a>0,b>0,
所以要证a+b≥2ab,只需证(a+b)2≥4a2b2 ,
即证a2+b2+2ab≥4a2b2 ,
, 所以只要证2+2ab≥4a2b2 ,
即证2(ab)2﹣ab﹣1≤0,
即证(2ab+1)(ab﹣1)≤0,因为2ab+1>0,所以只需证ab≤1,
下证ab≤1,
因为2=a2+b2≥2ab,所以ab≤1成立,
所以a+b≥2ab
【解析】( I)求出函数的解析式,然后求解函数的最小值,通过|m﹣1|≤1,求解m的范围,得到m的最大值M.( II)法一:综合法,利用基本不等式证明即可.法二:利用分析法,证明不等式成立的充分条件即可.
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【题目】某3D打印机,其打出的产品质量按照百分制衡量,若得分不低于85分则为合格品,低于85分则为不合格品,商家用该打印机随机打印了15件产品,得分情况如图;
(1)写出该组数据的中位数和众数,并估计该打印机打出的产品为合格品的概率;
(2)若打印一件合格品可获利54元,打印一件不合格品则亏损18元,记X为打印3件产品商家所获得的利润,在(1)的前提下,求随机变量X的分布列和数学期望.
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【题目】A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D,若 =λ +μ (λ∈R,μ∈R),则λ+μ的取值范围是( )
A.(1,+∞)
B.(0,1)
C.(1, ]
D.(﹣1,0)
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【题目】年底某购物网站为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度,从年下半年的会员中随机调查了个会员,得到会员对售后服务的满意度评分如下:
根据会员满意度评分,将会员的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分 | 低于分 | 分到分 | 不低于分 |
满意度等级 | 不满意 | 比较满意 | 非常满意 |
(1)根据这个会员的评分,估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率;
(2)以(1)中的频率作为概率,假设每个会员的评价结果相互独立.
(i)若从下半年的所有会员中随机选取个会员,求恰好一个评分比较满意,另一个评分非常满意的概率;
(ii)若从下半年的所有会员中随机选取个会员,记评分非常满意的会员的个数为,求的分布列,数学期望及方差.
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【题目】已知椭圆 的左焦点左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知,是椭圆上的两点,是椭圆上位于直线两侧的动点.若,试问直线的斜率是否为定值?请说明理由.
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【题目】《九章算术》中有如下问题:今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长1尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是:今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.若蒲、莞长度相等,则所需时间为( )
(结果精确到0.1.参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771.)
A. 天B. 天C. 天D. 天
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【题目】为了得到函数y=3cos2x的图象,只需把函数y=3sin(2x+ )的图象上所有的点( )
A.向右平行移动 个单位长度
B.向右平行移动 个单位长度
C.向左平行移动 个单位长度
D.向左平移移动 个单位长度
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【题目】已知圆心在轴的正半轴上,且半径为2的圆被直线截得的弦长为.
(1)求圆的方程;
(2)设动直线与圆交于两点,则在轴正半轴上是否存在定点,使得直线与直线关于轴对称?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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