Question

18．设函数f（x）的定义域为D，如果存在区间[a，b]⊆D，使得f（x）在区间[a，b]上的值域仍为[a，b]，那么函数f（x）叫做保值函数，若函数g（x）=k+$\sqrt{x+2}$为保值函数，则实数k的取值范围为$（-\frac{9}{4}，-2]$．

Answer 1

分析 函数g（x）=k+$\sqrt{x+2}$，定义域为x≥-2，记A=[-2，+∞）．可知：函数f（x）在A上单调递增，取[a，b]?A，根据函数g（x）=k+$\sqrt{x+2}$为保值函数，则k+$\sqrt{x+2}$=x，在[a，b]内有两个零点，化为$\sqrt{x+2}$=x-k，分别画出y=x-k，y=$\sqrt{x+2}$的图象，利用直线与圆锥曲线相交的问题与判别式的关系即可得出．

解答 解：函数g（x）=k+$\sqrt{x+2}$，定义域为x≥-2，记A=[-2，+∞）．
可知：函数f（x）在A上单调递增，
取[a，b]?A，
∵函数g（x）=k+$\sqrt{x+2}$为保值函数，
则k+$\sqrt{x+2}$=x，在[a，b]内有两个零点，
化为$\sqrt{x+2}$=x-k，
分别画出y=x-k，y=$\sqrt{x+2}$的图象，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-k}\\{y=\sqrt{x+2}}\end{array}\right.$，化为x²-（2k+1）x+k²-2=0，
△=（2k+1）²-4（k²-2）＞0，
解得k＞$-\frac{9}{4}$．
把x=-2代入方程可得：4+2（2k+1）+k²-2=0，解得k=-2．
∴k的取值范围是$（-\frac{9}{4}，-2]$．
故答案为：$（-\frac{9}{4}，-2]$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线相交的问题与判别式的关系、新定义“保值函数”、函数的单调性，考查了数形结合、推理能力与计算能力，属于中档题．