(本小题满分14分)已知函数,.
(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若函数在[上有零点,求的最大值;(Ⅲ)证明:在其定义域内恒成立,并比较与(且)的大小.
(Ⅰ) 单调递增区间为,单调递减区间为 (Ⅱ) -2(Ⅲ)略
:(Ⅰ)由题知:的定义域为(0,+∞)∵
∴函数的单调递增区间为 的单调递减区间为
(Ⅱ)∵在x∈上的最小值为
且=
∴在x∈上没有零点,∴要想使函数在(n∈Z)上有零点,并考虑到在单调递增且在单调递减,故只须且即可,
易验证
,当n≤-2且n∈Z时均有,即函数在上有零点,∴n的最大值为-2.
(Ⅲ)要证明,即证只须证lnx-x+1上恒成立.令h(x)=lnx-x+1(x>0),由
则在x=1处有极大值(也是最大值)h(1)=0∴lnx-x+1上恒成立.
∴∴
=(n-1)-<(n-1)-[]
=(n-1)-(
=∴<.
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3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
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科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点()在函数的图像上,其中=.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求及数列{}的通项公式;
(3)记,求数列{}的前n项和,并证明.
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科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天()的销售价格(单位:元)为,第天的销售量为,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点处的切线与直线平行.
⑴ 求,满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求的取值范围;
⑶ 证明:()
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