已知函数.. (Ⅰ)求函数的单调区间,(Ⅱ)若函数在[上有零点.求的最大值,(Ⅲ)证明:在其定义域内恒成立.并比较与(且)的大小. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）已知函数，.

（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在[上有零点，求的最大值；（Ⅲ）证明：在其定义域内恒成立，并比较与（且）的大小.

(Ⅰ) 单调递增区间为，单调递减区间为 (Ⅱ) -2（Ⅲ）略

解析:

：（Ⅰ）由题知：的定义域为（0,+∞）∵

∴函数的单调递增区间为　的单调递减区间为

(Ⅱ)∵在x∈上的最小值为

且=

∴在x∈上没有零点，∴要想使函数在（n∈Z）上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只须且即可，

易验证

，当n≤-2且n∈Z时均有，即函数在上有零点，∴n的最大值为-2.

(Ⅲ)要证明，即证只须证lnx-x+1上恒成立.令h(x)=lnx-x+1(x>0),由

则在x=1处有极大值（也是最大值）h(1)=0∴lnx-x+1上恒成立.

∴∴

=(n-1)-<(n-1)-[]

=(n-1)-(

=∴<.

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