Question

给出以下4个命题：
①曲线x²-（y-1）²=1按=（1，-2）平移可得曲线（x+1）²-（y-3）²=1；
②若|x-1|+|y-1|≤1，则使x-y取得最小值的最优解有无数多个；
③设A、B为两个定点，n为常数，||-||=n，则动点P的轨迹为双曲线；
④若椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是该椭圆上的任意一点，延长F₁P到点M，使|F₂P|=|PM|，则点M的轨迹是圆．
其中所有真命题的序号为    ．

Answer 1

【答案】分析：①原曲线即为线x²-（y-1）²=1，按向量平移即是把函数向右平移1个单位，向下平移2个单位后得到曲线．
②数形结合进行判定即可；
③不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离；
④充分利用平面几何图形的条件特点，结合椭圆的定义，得到|F₁Q|为定长，从而确定动点Q的轨迹是个什么图形．
解答：解：①原曲线即为x²-（y-1）²=1，则平移后的曲线C为（x-1）²-（y+1）²=1，故①不正确．
②先画出约束条件|x-1|+|y-1|≤1的图形，当z=x-y与区域的一边重合时取得最小值，则最小值的最优解有无数多个，故②正确；

③若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．
当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线，③不正确；
④∵|PF₁|+|PF₂|=2a，|PQ|=|PF₂|，
∴|PF₁|+|PF₂|=|PF₁|+|PQ|=2a，
即|F₁Q|=2a，
∴动点Q到定点F₁的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．故④正确；
故答案为：②④
点评：本题主要考查了曲线的平移，以及求轨迹方程的方法及定义法和线性规划等问题，同时考查了作图能力，是一道综合题．