【题目】已知椭圆E:的焦距为2
,一条准线方程为x=
,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,点P,Q在的椭圆上,且点P在第一象限.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若点P,Q关于坐标原点对称,且PQ⊥AB,求四边形ABCD的面积;
(3)若AP,BQ的斜率互为相反数,求证:PQ斜率为定值.
【答案】(1)(2)
(3)见证明
【解析】
(1)由焦距得c,再由准线方程结合a2=b2+c2,可得椭圆方程;(2),由题意可得kPQ=2,即直线PQ方程为y=2x,与椭圆方程联立解得|PQ|,可得四边形ABCD的面积;(3)设直线AP的斜率为k(k<0),则直线AP方程y=k(x-2),与椭圆方程联立得P点坐标,利用直线AN斜率与AM斜率互为相反数,将k换为-k,可求N的坐标,再利用斜率计算公式即可得出PQ斜率为定值.
(1)由题意可得:,
,
,
解得:,
,
.
椭圆
的标准方程为:
.
(2) ,
点
关于坐标原点对称,且
,
.可得直线
的方程为:
.
联立,解得
,
.
.
四边形
的面积
.
(3)证明:设 ,
.
设直线的斜率为
,
,则直线方程为:
,
联立,化为:
,
,解得
,
.
的斜率互为相反数,
直线
的斜率为
,直线方程为:
.
联立,化为:
,
,
.
斜率
为定值.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BC= ,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1 .
(1)求证:CD=C1D;
(2)求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值.
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【题目】已知函数f(x)=x3﹣9x,函数g(x)=3x2+a.
(1)已知直线l是曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线,且l与曲线y=g(x)相切,求a的值;
(2)若方程f(x)=g(x)有三个不同实数解,求实数a的取值范围.
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【题目】已知圆与
轴相切于点
,且被
轴所截得的弦长为
,圆心
在第一象限.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若点是直线
上的动点,过
作圆
的切线,切点为
,当△
的面积最小时,求切线
的方程.
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【题目】在一次数学竞赛中,30名参赛学生的成绩(百分制)的茎叶图如图所示:若将参赛学生按成绩由高到低编为1﹣30号,再用系统抽样法从中抽取6人,则其中抽取的成绩在[77,90]内的学生人数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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