Question

已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x²+ax-lnx，g（x）=e^x．（其中e是自然对数的底数）
（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x₀，y₀），求证：x₀=1；
（Ⅱ）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

解：（I）（x＞0）． …（2分）
所以切线的斜率，
整理得．…（4分）
显然，x₀=1是这个方程的解，又因为y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，
所以方程x²+lnx-1=0有唯一实数解．故x₀=1．…（6分）
（Ⅱ），．…（8分）
设，则．
易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2-a． …（10分）
（1）当2-a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．
所以，a≤2满足题意． …（12分）
（2）当2-a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x₀，
则h（x）在（0，x₀）上递增，在（x₀，1）上递减．又∵h（1）=0，∴h（x₀）＞0．
又∵h（e^-a）=-e^-2a+（2-a）e^-a+a-e^a+lne^-a＜0，
∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，
当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．
从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．
∴a＞2不合题意．
综合（1）（2）得，a≤2． …（15分）
分析：（I）先对函数求导，，可得切线的斜率，即，由x₀=1是方程的解，且y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，可证
（Ⅱ）由，，先研究函数，则．
由h'（x）在（0，1]上是减函数，可得h'（x）≥h'（1）=2-a，通过研究2-a的正负可判断h（x）的单调性，进而可得函数F（x）的单调性，可求
点评：考查学生利用导数研究函数的单调能力，函数单调性的判定，以及导数的运算，试题具有一定的综合性．