Question

16．已知数列{a_n}满足：${a_1}=2，{a_{n+1}}={a_n}^2-k{a_n}+k（{k∈{N^*}}），{a_1}，{a_2}，{a_3}$分别是公差不为零的等差数列{b_n}的前三项．
（1）求k的值；
（2）求证：对任意的n∈N^*，b_n，b_2n，b_4n不可能是等比数列．

Answer 1

分析 （1）a₁=2，a_n+1=${a}_{n}^{2}$-ka_n+k，可得a₂=4-k，a₃=2k²-11k+16，又2a₂=a₁+a₃代入解出即可得出．
（2）由（1）可得：公差d=-$\frac{1}{2}$，可得b_n=$\frac{5-n}{2}$．假设b_n，b_2n，b_4n是等比数列，${b}_{2n}^{2}$=b_n•b_4n，利用通项公式代入解出即可得出结论．

解答 （1）解：∵a₁=2，a_n+1=${a}_{n}^{2}$-ka_n+k，∴a₂=4-k，a₃=2k²-11k+16，又2a₂=a₁+a₃，∴2（4-k）=2+2k²-11k+16，
化为：2k²-9k+10=0，解得k=2或$\frac{5}{2}$，又公差不为零的等差数列{b_n}，∴k=$\frac{5}{2}$．
（2）证明：由（1）可得：公差d=4-$\frac{5}{2}$-2=-$\frac{1}{2}$，可得b_n=2-$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{5-n}{2}$．
假设b_n，b_2n，b_4n是等比数列，∴${b}_{2n}^{2}$=b_n•b_4n，
∴$（\frac{5-2n}{2}）^{2}$=$\frac{5-n}{2}$×$\frac{5-4n}{2}$，化为：解得n=0与n∈N^*矛盾．
因此假设不成立，于是对任意的n∈N^*，b_n，b_2n，b_4n不可能是等比数列．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．