Question

【题目】已知函数，（且），.

（1）若函数在上的最大值为1，求的值；

（2）若存在使得关于的不等式成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（1）利用导数结合定义域讨论出函数的单调区间，根据单调区间求出函数的最小值，从而解出的范围；

（2）关于的不等式存在成立，等价于不等式在有解，令，对函数求导，求出函数在上的单调区间，从而求出的最小值，即可求出的取值范围。

（1）因为，令，，，

当时，在上单调递增，在上单调递减，

所以在区间上的最大值为，令，解得.

当，，

当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，

所以最大值1可能在或处取得，

而，

所以，解得.

当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，

所以最大值1可能在或处取得，

而，

所以，

解得，与矛盾.

当时，在区间上单调递增，在单调递减，

所以最大值1可能在处取得，而，矛盾.

综上所述，或.

（2）关于的不等式存在成立，

等价于不等式在有解，

设，，，

当即时，递增，当，即时，递减，

又，，∵，∴.